Тавтология және қайшылық. Тавтологияның қасиеттері - Студент үшін

Тавтология және қайшылық. Тавтологияның қасиеттері - Студент үшін

Анықтама.

  1. Құрамындағы әріптердің ақиқаттық мәндерінің кез келген орналасуында тек ақиқат мән қабылдайтын формуланы тавтология (жалпымәнді) деп атаймыз. Егер j формуласы тавтология болса, оны |= j арқылы белгілейміз.
  2. Әрқашан тек жалған мәнін қабылдайтын формуланы қайшылық деп атайды. қайшылық болмайтын формулалар орындалатын формулалар деп аталады.

Мысалдар.

  • jÚØj, j®(j®j), (Øj®Øy)®((Øj ®yj) формулалары тавтология болады.
  • Ал jÙØj, Ø(Øj®Øj), Øq«q формулалары қайшылық мысалдары.
  • jформулалары тавтология да, қайшылық та болмайтын орындалатын формулалар.

Қасиеттері.

. Егер j және j®y формулалары тавтология болса, онда y формуласы да тавтология болады.

Дәлелдеуі. Кері жориық. y формуласы тавтология болмасын, онда  ақиқаттық функциясы табылып,  болады. Ал j және j®y формулалары тавтология болғандықтан, а, (j®y)=а, ал анықтама бойынша (j®y) =(j)®(y)=а. Ал (j)=а. Демек,  болуы керек. Қайшылық. Осы қайшылық біздің жоруымыздың қателігін көрсетеді. Яғни  формуласы тавтология. Символды түрде |=.

.  – j тавтологиясында кездесетін әріптер, ал  формуласы  формуласынан  әріптерін сәйкес еркін алынған q1,…, qn формулаларымен ауыстыру арқылы алынған болса, онда  формуласы да тавтология болады.

Дәлелдеуі. Кері жориық. Қандай да бір ақиқаттық  функциясы үшін () = ж болсын. Онда (q1)=t(А1),…,(qn)=t(Аn) теңдіктерімен t ақиқаттық функциясы анықталады.  формуласының  анықтамасы бойынша, қандай да бір  логикалық функция (функцияның мәні өрнектегі әріптерге қолданылатын логикалық амалдарға ғана тәуелді) табылып, j =¦(A1,…,An) және  =¦(q1,…,qn) болғандықтан,

() = ¦(t(A1),…,t(An)) =¦((q1), …, (qn)) = () = ж

Бұл j формуласының тавтология болатынына қайшы. Ендеше  формуласы да тавтология болады.

Ескерту. Жалпы жағдайда тавтологиялар біздің табиғи түйсігіміздегі ақиқат тұжырымдарға сәйкес келеді. Мысалы, AA  немесе ØØ РР  формулаларының тавтология болатыны бізді таң қалдырмайды. Ал егер Р:={Тазша бала айда тұрады} және Q: ={Есек деп үшжүз жасқа келген қоянды айтады} пікірлері берілсе, олардың арасындағы логикалық байланысты табу қиын. Бірақ, (PQ)Ú( QP ) формуласы тавтология(дәлелде!).

Мысалдар.

  • j®(y®j) (мұндағы j және y кез келген формулалар) формуласының тавтология болатындығына көз жеткізу үшін қасиет бойынша А®(В®А) формуласының  тавтология болатындығын көрсетсек жеткілікті. Ал А®(В®А) формуласының  тавтология болатындығын ақиқаттық кесте құру арқылы оңай анықтай  аламыз.
  • Әдетте, қандай да бір формуланың тавтология болатынын ақиқаттық кесте құру арқылы дәлелдеуден, кері жору жолымен дәлелдеген тиімді.

(j®(y®q))®((j®y)®(j®q)) формуласының тавтология болатынын дәлелдейік. Кері жоримыз. Яғни (j®(y®q))®((j®y)®(j®q)) формуласы қандай да бір ақиқаттық мәндердің орналасуында жалған мән қабылдасын дейік, онда ІІІ ереже бойынша осы орналасуда (j®(y®q)) формуласының мәні ақиқат (1), ал (j®y)®(j®q) формулласының мәні жалған болады. Соңғысынан тағы да ІІІ ереже бойынша j®yа және j®qж (2) болатынын көреміз. Ендеше j формуласы ақиқат, ал q формуласы жалған мән қабылдайды. Онда (2) бойынша y формуласының мәні ақиқат болуы керек. Демек, (j®(y®q)) формуласы жалған мән қабылдайды. Бұл (1)-ге қайшы. Сондықтан берілген формуламыз жалған мән қабылдай алмайды. Яғни ол тавтология болады.

скачать dle 12.1

Көп қаралған материалдар